絶対値の隠れ蓑 ― 2009年12月19日

　長い冬の夜は，気の置けぬ仲間数人と暖炉の傍で，遠い宇宙に想いを馳せたり，文学を論じたり，心の向くまま気の向くまま，語り合うのも楽しいものだ．
　人は，穏やかな揺らめく炎を前にすると，心が和み，想像の翼が羽ばたき始めるもののようだ．いつもの見慣れたことが，別の陰影に彩られて，違った姿で立ち現れてくる．

　情報科学っ！　なんて肩肘張らずに，暖炉の前で，グラスでも傾けながら，思いを巡らせてみると，情報科学の世界の違った姿が見えてくるかも知れない．
　さぁ，暖炉の前に集まり，子供たちに世界の話をしよう．情報科学のトンネルを抜ければ，もう気分は「情報の国のアリス」．情報科学の目で見た "bit" な話．

プログラミングの構造

　先日，あるメーリングリストでプログラミング教育が話題になっていた．プログラミング教育といっても，高等学校普通科での話である．数年先に予定されている「（普通教科の）情報科」の内容に関することだと思えば良い．それを見ていて思い付いたことを，．．

＊

　そこには，

【問題1】
　　「3つの数が与えられたとき，それを大きさの順に印刷しなさい」

という問題が例示されていた．さて，どうやってプログラムしようか．ここでは，2つの数で考えてみよう．最も単純な解は， 

【コード1】
    get a, b
    if a > b
       then print a, b
       else print b, a

というものだろう．もう少し考えれば，「a や b といった変数名自体ではなく，その内容が大事なのだ」ということに気が付き， 

【コード2】
    get a, b
    if a > b
       then M = a, m = b
       else M = b, m = a
    print M, m

という解を思い付くに違いない．【コード2】の優れている点は，入出力と問題の要点が分離されている点である．問題は，

【問題2】
　　2つの数が与えられたとき …… 数の入力
　　それを大きさの順に　　　…… 並べ替え
　　印刷しなさい　　　　　　…… 数の出力

というものであった．これを，素直にプログラムしたのが【コード2】なのである．
　【問題2】の分解に納得できない人は，いろいろなバリエーションを考えてみると良い．数が 2つではなく 3つの場合，印刷順が逆の場合，あるいは乱順の場合，印刷ではなくファイルに保存する場合，．．共通しているのは，「準備し，処理し，後始末する」というパターンである．もっとも，これは，あらゆる作業について言えることである．
　では，肝心の並べ替えの方法に焦点を当ててみよう． 

【コード3】
    if a > b
       then M = a, m = b
       else M = b, m = a

　メーリングリストには，次のような解も挙がっていた． 

【コード4】
    M = (a + b)/2 + ABS(a-b)/2
    m = (a + b)/2 - ABS(a-b)/2

　ここで，ABS(x) は x の絶対値を返す関数である．いかにも，コーディング・オタクの答えそうな解であるが，しかし実は，そんなに奇抜という訳ではない．現に，私だって思い付いたのである（誓って，私はコーディング・オタクではありません）．例えば，複素数の実部と虚部は，

Re(z) = (z + z*)/2
Im(z) = (z - z*)/2

と計算されるし，テレビの電波は，

輝度情報　……　３原色の和
色情報　　……　差分

に分解されて送られている（だから，モノクロテレビでもカラー放送を見ることができる．もし，3原色で放送されたら，モノクロテレビではその内の一色だけしか見られず，見るに耐えない画像になるだろう）．そう言えば，FMのステレオ放送も，

座標の回転
左右のチャンネルの和
左右のチャンネルの差分

になっている（お陰で，ステレオ対応でない受信機でも聞くことができる）．もう少し数学的に考えれば，これは座標変換に対応している．a と b を二次元の座標上の点 P と考えれば，この点 P を図中の S と D で構成される座標で読みとったものである．これと最大，最小との関係は次のように考えることができる．

　もし，点 P が図中の座標軸 S より上にあれば，a の方が大きいから，a（= P の A 座標） を取る．S の線より下にあれば，S の線に関して対称な点 Q を取り，その点 Q の A 座標を取る．これで最大値を求めることができる．

この時の対称を取る操作が，ABS に対応しているのである．つまり，A-B 座標で考えた最大を，S-D 座標で絶対値を求めることに還元させたということである．

＊

　【コード3】と【コード4】は，一見，非常に異なる解のように見えるが，実際の所はどうなのだろうか．【コード4】は，if を用いずにプログラムを作れ，という指示の下に考案されたもののようだが，本当に if，つまり「場合分けの考え方」を使っていないのだろうか．もうお気付きのことと思うが，上述の座標変換の説明から明らかなように，ABS 自体に if が隠されているのである．実際，絶対値の定義は，

  1. x と -x の内，大きい方
  2. x が正なら x，x が負なら -x

などとされることが多い．定義 1.なら，【コード4】はトートロジーのようなものだし，定義 2.なら，ABS は if を含んでいることになる．従って，考え方としては，何ら新しいものは含んでいないのである．

＊

　ところで，件のメーリングリストには，【コード4】について，桁落ちなどの問題があるよ，という指摘も載っていた．これは，正しい指摘ではあるが，もう一歩踏み込んで考えるべきであろう．
　というのは，【問題1】はデータの大きさのことにしか触れていないのに，【コード4】には加算減算除算が含まれている．つまり，【コード3】が前提としているのは扱っている数の順序構造だけであるが，【コード4】は四則演算（体という代数構造）を前提としているのである．プログラムのデータ構造は，その問題に見合った構造だけを前提とすべきである．もし，それでプログラムできないのなら，そのデータ構造が間違っているのである．問題の設定から考え直すべきであろう．
　と考えると，【コード4】は「正解」ではないことになる．精度ではなく，それ以前の問題なのである．

＊

　情報科では情報科学の本質を教えるべきだ，という意見に賛成する人でも，その発言を良く聞いてみると，それはコーディング教育じゃないの，と思えるものが殆どである．ここで扱ったような，僅か数行のプログラムでも，階層，データ型，関数，情報隠蔽，選択構造による問題解決のアプローチなど，基礎的概念が多数現れている．難しいコーディングは必要ない．小さなコードの中に含まれる構造を読み解き，そこに含まれる基礎概念を認めること，それが情報科学の本質なのではないのだろうか．この情報科学の基礎概念は誰にとっても必要なものである．言葉の扱い方，社会との接し方，数理概念，そして情報概念．ついこの間人類が発見した概念ではあるが，情報概念という切り口によって，世界に対する新しい見方を確実にもたらしてくれるだろう．情報科は，それを語る教科であって欲しい．

1999年 12月 18日

by OK [炉辺夜話（情報科学編）] [コメント(0)｜トラックバック(0)]